Question

已知θ∈(0,π/2)。求证sinθ<θ<tanθ

Answer 1

在直角坐标系中做半径为r的圆，与x正半轴交于A，与y正半轴交于B
θ终边OP在OA与OB之间，做PC⊥OA于C

连接PA，则PC＜PA【直线外一点到直线垂线距离最短】，PA＜弧PA【两点间直线距离最短】
∴PC＜弧PA
∴PC/OP＜弧AP/OP
sinθ=PC/OP，θ=弧AP/OP
∴sinθ＜θ

过A做OA垂线，与OP的延长线交于D
S△OAD=1/2OA*AD，S扇形OAP=1/2弧AP*OA
S△OAD＞S扇形OAP
1/2OA*AD＞1/2弧AP*OA
∴AD＞弧AP
θ=弧AP/OA，tanθ=AD/OA
∴θ＜tanθ

∴sinθ<θ<tanθ

Answer 2

可用导数。
设 f(x)=x-sinx，f'(x)=1-cosx≥0，f(x)是增函数，从而 当θ>0时，有f(θ)>f(0)，
即 θ-sinθ>0， θ>sinθ
另一半可类似地证明。
若未学过导数，可用单位圆中的三角函数线证明。参考：
http://zhidao.baidu.com/question/340360007.html?oldq