Question

设f(x)=e^x/1+ax^2,其中a为正实数，若f（x）为R上单调函数，求a的取值范围

Answer 1

1)求导，得f'(x)=e^x{1+(4/3)x^2-(8/3)x}/{1+(4/3)x^2}^2
因为求极值点，则x=0.5或1.5
0,解得x=0.5或1.5
所以极值点为x=0.5或1.5
(2)f'(x)=e^x(ax^2-2ax+1)/(1+ax^2)^2
因为是单调函数，所以只要使ax^2-2ax+1恒大于0或是恒小于0
当a=0时，满足条件
当a>0时，最小值4ac-b^2/4a>0,得0<a<1
当a<0时，最大值4ac-b^2/4a<0,不存在
所以0<=a<1

Answer 2

（Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可．解答：解：对f（x）求导得
f′（x）=
（Ⅰ）当a= 时，若f′（x）=0，则4x2-8x+3=0，解得

结合①，可知

所以， 是极小值点， 是极大值点．
（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，
结合①与条件a＞0知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，
因此△=4a2-4a=4a（a-1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤