Question

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Answer 1

这题和什么洛比达法则毫无关系的，用到的是常微分方程中一阶线性微分方程的通解公式 ：

{ y' + P(x)y = Q(x)，则 y= [e^(-∫P(x)dx)] (∫Q(x)[e^(∫P(x)dx)]dx + C ) }

该题为： f'(x) - f(x) = 0 则 f(x)= [e^(-∫(-1)dx)] (∫0[e^(∫(-1)dx)]dx + C )
= [e^x] ( 0 + C )= Ce^x
因f(0)=1, 则 f(0)= Ce^0 = C =1 ， 所以C=1
所以：f(x)=e^x

如果不用通解公式也可以的：f'(x) = f(x) → dy/dx = y → dy/y = dx ，两边同时积分，得：
lny = x + lnC → y = Ce^x ，同理得C=1，f(x)=e^x

Answer 2

首先，若f(x)=g(x)=e^x,很显然g'=g, g(0)=e^0=1
假设除次之外还有另外的解h(x)满足h'=h,h(0)=1
把两式相减，得到(g-h)'=g-h, g(0)-h(0)=0
令k(x)=g(x)-h(x)
k'=k, k(0)=0
k'是函数值变化的一个象征，但是初始点x=0时k为0，初始速度k'=k=0
所以过了一小段时间之后，函数值还是0，因为变化率为0，以此为基础，可以断定
k一直=0
所以g=h
所以f(x)=e^x是唯一解，证毕

Answer 3

洛必达法则，虽不是万能方法，但是求极限中最重要的方法，高数中的极限题八成以上要用到它，也是有效性最高的，用它可以解决绝大多数0比0型，无穷比穷型