Question

计算极限lim→0+ [∫(上限x，下限0)ln(t+e^t)dt] / (1-cosx)

请给详细步骤！！！！！

Answer 1

1、分母用等价代换：1-cosx~(1/2)x²；
2、然后用罗比达法则，分子分母同时求导；
lim（x→0+) [∫(上限x，下限0)ln(t+e^t)dt] / (1-cosx)
=lim（x→0+) [∫(上限x，下限0)ln(t+e^t)dt] / [(1/2)x²]
=lim（x→0+) [ln(x+e^x)] / x
3、继续求导：
=lim（x→0+) [(1+e^x)/(x+e^x)] /1
=lim（x→0+) [(1+e^x)/(x+e^x)]
4、取极限：
=2

Answer 2

lim(x->0+) ∫(0到x) [ln(t + e^t) dt]/(1 - cosx)
= lim(x->0+) [d/dx ∫(0到x) (ln(t + e^t))]/[d/dx (1 - cosx)]
= lim(x->0+) [ln(x + e^x)]/sinx
= lim(x->0+) [d/dx ln(x + e^x)]/(d/dx sinx)
= lim(x->0+) [(1 + e^x)/(x + e^x)]/cosx
= lim(x ->0+) (1 + e^x)/[(x + e^x)cosx]
= (1 + 1)/[(0 + 1)(1)]
= (2)/(1)
= 2