Question

在△ABC中，内角A B C的对边分别为a b c， 若cosA=1/3,b=3c，求sinC,仔细步骤

Answer 1

方法一：
∵cosA＝1/3，∴由余弦定理，得：（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）＝1/3，又b＝3c，
∴（9c^2＋c^2－a^2）/（2×3c^2）＝1/3，∴（10c^2－a^2）＝2c^2，∴a＝2√2c。
再由余弦定理，有：
cosC＝（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）＝（8c^2＋9c^2－c^2）/［2×（2√2c）（3c）］
＝（8＋9－1）/（12√2）＝16/（12√2）＝4/（3√2）＝2√2/3。
∴sinC＝√［1－（cosC）^2］＝√［1－（2√2/3）^2］＝√（1－8/9）＝1/3。

方法二：
∵cosA＝1/3，∴由余弦定理，得：（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）＝1/3，又b＝3c，
∴（9c^2＋c^2－a^2）/（2×3c^2）＝1/3，∴（10c^2－a^2）＝2c^2，∴a＝2√2c。
再由cosA＝1/3，得：sinA＝√［1－（cosA）^2］＝√（1－1/9）＝2√2/3。
由正弦定理，有：a/sinA＝c/sinC，
∴sinC＝csinA/a＝（2√2/3）c/（2√2c）＝1/3。

Answer 2

b=3c，则：sinB=3sinC，sin(A＋C)=3sinC，sinAcosC＋cosAsinC=3sinC，(3－cosA)sinC=sinAcosC，则：tanC=sinA/(3－cosA)，因cosA=1/3，则sinA=2√2/3，则tanC=√2/4，所以sinC=1/3

Answer 3

∵b=3c
∴sinb=3sinc
而sinb=sin（a+c）=sinacosc+sinccosa
∵sina=2√2/3，cosa=1/3
∴2√2cosc/3+sinc/3=3sinc
∴cosc=2√2sinc
∴sinc=1/3