Question

高中数学（求导）

当x>0时，证明不等式ln(x+1)>x-x^2/2

我看了解析，我不懂它为什么要说当x>0时，f(x)>f(0)=0怎么突然出现0了啊？算0要干嘛啊

Answer 1

因为令f(x)=ln(x+1)-(x-x^2/2)，当x>0时，证明不等式ln(x+1)>x-x^2/2即只需要证明f(x)>0在x>0时。
可以考虑它的单调性 于是采用求导 判断导数是否大于0
第一步：对f(x)求导，得出f(x)的导数=1/(x+1)-(1-x)=x^2/(x+1)。说明f(x)的导数在函数定义域(即x>-1)内总为正，也就是说，该函数是个增函数。
第二步：当x=0时，带入函数解析式得到f(0)=ln1-0+0=0；当x>0时，f(x)>f(0)，即f(x)>0，亦即ln(x+1)>x-x^2/2。证毕。

Answer 2

假设f(x)=ln(x+1)-(x-x^2/2)，现在问题变成了证明f(x)>0在x>0时。
对f(x)求导，得出f(x)的导数=1/(x+1)-(1-x)=x^2/(x+1)。说明f(x)的导数在函数定义域(即x>-1)内总为正，也就是说，该函数是个增函数。当x=0时，f(0)=0；当x>0时，f(x)>f(0)，即f(x)>0，亦即ln(x+1)>x-x^2/2。证毕。
因为f(x)在(-1,0)间是负值，所以解题时除了证明是增函数外，还要找到函数的零点。只有在零点右侧的函数才是正值，即x>0时。

Answer 3

令f(x)=(1/2)x²-x+ln(x+1) 该函数的定义域为 x>-1
则 f'((x)=x²/(x+1)
∴在（0，+∞）上 f′(x)>0恒成立， f(x)在（0，+∞）是增函数；
故f(0)=0 是f(x)在（0，+∞）上的最小值 ，
也即在（0，+∞）上f(x)>f(0)=0
故：(1/2)x²-x+ln(x+1)>0
即：ln(x+1)>x-x^2/2
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f(x)>f(0)=0怎么突然出现0了啊？算0要干嘛啊----------------------这需要你在脑海里有y=f(x)的大致形状。 y=f(x)在（0，+∞）是单调增的；f(0)=0 是y=f(x)在（0，+∞）上的最小值；能想象吗？

Answer 4

构造函数f(x)=(1/2)x²-x+ln(x+1) 则导函数f′(x)=x²/(x+1) 所以在（0，+∞）上 f′(x)》0恒成立， 所以f(x)在（0，+∞）是增函数 所以f(x)的最小值>f(0)=0 f(x)》f(x)的最小值>f(0)=0 即：(1/2)x²-x+ln(x+1)>0 所以ln(x+1)>x-x^2/2

Answer 5

就是f(x)>0
就是ln(x+1)-(x-x^2/2)>0
所以ln(x+1)>x-x^2/2