Question

f(x)=a-2\2x方+1（a属于R）求f(x)单调性。是否有实数a使之为奇函数

Answer 1

f(x)=a-2/(2^x+1)
【解】
(1)
设x1、x2∈R,且x1＜x2。
f(x₁)-f(x₂)=a-2/(2^x₁+1) -a+2/(2^x₂+1) =2/(2^x₂+1)-2/(2^x₁+1)=[2(2^x₁-2^x₂)]/[(2^x₂+1)(2^x1+1)]
∵x1＜x2 ∴2^x₁-2^x₂＜0 又∵2^x₂+1>0,2^x1+1＞0
∴f(x₁)-f(x₂)＜0
∴函数在R上递增。

(2)
若函数f(x)为奇函数
f(-x)=-f(x)即:
a-2/(2^(-x)+1)=-a+2/(2^x+1)
整理为:
2a=2/(2^(-x)+1)+2/(2^x+1)

a=1/(2^(-x)+1)+1/(2^x+1)
=2^x/(2^x+1)+1/(2^x+1)
=(2^x+1)/(2^x+1)
=1
所以a=1时函数f(x)为奇函数