Question

在平面图形ABCD中AB=BC=CD=α，∠B=90°∠BCD=135° 沿对角线AC将其折成二面角

①求证AB⊥面BCD
②求二面角B-AD-C的大小
③求直线BD与AC所成的角
是折成直二面角 少打了个直字

Answer 1

先明确原图特征：△ABC为等腰直角三角形，△ACD为直角三角形，且AC=√2a，AD=√3a
沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D，又CD⊥AC（两垂直平面的交线），所以CD⊥平面ABC

方法一:
设AC中点E，连接BE，过E做AD垂线，垂足F，
由DC⊥平面ABC，得 DC垂直BE
又AB=BC，AE=CE，得 BE垂直AC
所以BE垂直平面ADC，所以 BE垂直AD
又EF垂直AD，所以AD垂直平面BEF，AD⊥BF
所以 ∠BFE就是所求角，
其中∠BEF=90°，BE=√2/2a，EF=√6/6a，
所以tan∠BFE=√3，∠BFE=60°
方法二：
在ABC平面内，过C做AC垂线，交AB延长线为G，（可在翻折前后图形中对比观察）
过C做AD垂线，垂足为H，连接GH。
可证∠GHC即所求角，（方法与上一种解法类似）
在RT△GCH中，GC=√2a，CH=√2a/√3，
所以tan∠GCH=GC/CH=√3，∠GHC=60°
方法三：
先按方法二过程做辅助线，再以CA,CG,CD方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，
用空间向量的方法求解，具体过程就不说了