Question

奥数（同余问题）

求1111+2×1111+3×1111+…+1111×1111的和被7除所得的余数是几？

Answer 1

因为 1111被7除所得的余数是5，
所以 2×1111被7除所得的余数是3，
3×1111被7除所得的余数是1，
4×1111被7除所得的余数是6，
5×1111被7除所得的余数是4，
6×1111被7除所得的余数是2，
7×1111被7除所得的余数是0，

8×1111被7除所得的余数是5，
9×1111被7除所得的余数是3，
...........................................
从而 7个一组，相加是7的倍数。
由于1111被7除所得的余数是5，所以最后剩下5个数，
它们被7除所得的余数分别是 5，3，1，6，4
5+3+1+6+4=19，被7除所得的余数是5
所以1111+2×1111+3×1111+…+1111×1111的和被7除所得的余数是5

Answer 2

原式=1111（1+2+3+……+1111）
=1111*1111*556
=1111*1111*553+1111*1111*3
=1111*1111*7*79（7的整数倍）+1111*1111*3
=……+1111*3*1106（7的整数倍）+1111*3*5
=……+1106*3*5（7的整数倍）+5*3*5
=75
75/7=10……5
所以最终的余数为5。

Answer 3

因为（1+1112）*1112/2=618828
而618828同余于0模7
1111同余于3模7
那么原式就等于1111*618828同余于3+0模7
同余于3模7

Answer 4

5