Question

已知0<x,y<1,求证:根号（x^2+y^2）+ 根号[x^2+(1-y)^2]+根号[(1-x)^2+y^2]+根号[(1-x)^2+(1-y)^2]>=2根号2

题目很绕，，请大家认真仔细看下。谢谢

Answer 1

不等式左边实际上就是：几何平面上有一个边长为1的正方形，四个点分别为（0 0），（0 1），（1 0），（1 1），点(x y)在正方形内，点(x,y)与四个顶点的距离之和大于等于两条对角线长。从几何上看很容易，因此根据几何给出证明思路。
先证明根号(x^2+y^2)+根号【(x-1)^2+(y-1)^2】>=根号(2)，此不等式等价于根号【(x-1)^2+(y-1)^2】>=根号(2)-根号(x^2+y^2)，两边平方得等价于(x-1)^2+(y-1)^2>=2+x^2+y^2-2根号(2x^2+2y^2)，化简得x+y<=根号(2x^2+2y^2)，再平方即可看出结论成立。因此原不等式成立。
另外一个不等式根号[x^2+(1-y)^2]+根号[(1-x)^2+y^2]>=根号(2)类似证明，最后相加得结论。