Question

根据题意求a的取值范围。求助。谢谢。

已知函数f(x)=2x³-3（a+2）x²+6（b+2a）x+a²（a，b∈R）。若X=1是f(x)的极大值点,且f(x)在区间(0,2)上不存在最大值,求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=6x^2－6(a+2)x+6(b+2a)，令x＝1得0＝f'(1)=6－6(a+2)+6(b+2a)，于是a+b＝1。
于是f'(x)=6(x^2－(a+2)x+(a+1))=6(x－1)(x－(a+1))。由于1是极大点，因此必须有a+1>1（否则f'(x)在(a+1, 1)上递减，在(1, +无穷)上递增，1是极小点，矛盾。）故a>0。
当a+1<2时，f(x)在(1, 2)上先递减后递增，没有最大值要求f(2)>f(1)（当f(2)<=f(1)时，x＝1就是(0 2)上最大值点)，故得a<2/3。
当a+1>＝2时，f(x)在(1，2)上递减，1是最大值点。矛盾。
综上得0<a<2/3。