Question

以F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点且与直线2x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程

Answer 1

c=1 e=c/a=1/a，1/a^2=e^2，1/b^2=1/(a^2-c^2)=1/(1/e^2-1)=e^2/(1-e^2)
设椭圆方程 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
有 e^2*x^2+y^2*[e^2/(1-e^2)]=1
将直线 y=2x+3 代入 e^2*x^2 + (2x+3)^2*[e^2/(1-e^2)]=1
整理得 (5e^2-e^4)*x^2 + 12e^2*x + (10e^2-1) = 0
椭圆与直线有公共点，上述方程有解，判别式△≥0，
即 (12e^2)^2 - 4*(5e^2-e^4)*(10e^2-1) =40e^2-60e^4+20e^2≥0
即 2e^4-3e^2+1≥0
令t=e^2，有2t^2-3t+1=(t-1)(2t-1)≥0，
解得 t1≥1（不合，∵椭圆 0＜e＜1）
0＜t=e^2≤1/2，∴ 0＜e≤√2/2，离心率最大值=√2/2
此时，a^2=1/e^2=2，b^2=a^2-c^2=2-1=1
∴ 椭圆方程为 x^2/2+y^2=1
椭圆与直线相切于 (-4/3，1/3)

计算量稍小的方法：
∵ c=1，e=c/a=1/a，即 a越小e越大
而椭圆与直线相切时a最小
设椭圆为x^2/A+y^2/(A-1)=1，把直线 y=2x+3 代入 得
(5A-1)x^2+12Ax+10A-A^2=0
相切时只有一个交点，判别式Δ=0，
即 144A^2-4(5A-1)(10A-A^2)=20A^3-60A^2+40A=0
解得：A1=a^2=1（不合，因此时b^2=a^2-c^2=1-1=0，e=c/a=1）
A2=a^2=2，a=√2，e=1/√2=√2/2＜1
∴ 椭圆方程：x^2/2+y^2=1

Answer 2

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