Question

数学题。帮忙解一下，急用啊

1、在△ABC中，已知b²-bc-2c²=0，且a=√6，cosA=7/8，则△ABC的面积等于
2、在△ABC中，A=60°，最大边与最小边是方程3x²-27x+32=0的两个实根，那么BC边的长为
3、已知△ABC中的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，它的外接圆半径为6，三边a、b、c，角A、C和△ABC的面积S满足以下条件：S=b²-（c-a）²和sinA+sinC=4/3
（1、求sinB的值
前两道是填空好心人可以给个过程，最后一道是大题要过程

Answer 1

第一题解：

∵b² - bc - 2c² = 0

∴b² - c² = c² + bc

∴(b + c)(b - c) = c (b + c)

在△ABC中，b + c ≠ 0

∴ b - c = c

∴b = 2c

把a = √6、cosA = 7/8、b = 2c 代入 a² = b² + c² - 2bc cosA，得：

(√6)² = (2c)² + c² - 2 × (2c) × c × (7/8)

∴6 = 5c² - c² × (7/2)

∴c² = 4

∴c = 2（c = -2 舍去）

∴b = 2c = 4

在△ABC中
∵cosA=7/8 ＞ 0

∴sinA = √(1-cos²A) = √[1-(7/8)²] = (√15)/8

∴S △ABC
= (1/2)bcsinA
= (1/2)×4×2×[(√15)/8]
= (√15)/2

第二题解：
在△ABC中，
∵A=60°
∴角A 的对边BC 既不是最大边也不是最小边

由题意AB 和 AC 是方程3x²-27x+32=0的两个实根

∴ 由根与系数的关系知：AB + AC = 9，AB × AC = 32/3

由余弦定理得：

BC² = AB² + AC² - 2×AB×AC×cosA

∴BC² = [ (AB + AC)² - 2×AB×AC ] - 2×AB×AC×cosA

∴BC² = [ 9² - 2×( 32/3) ] - 2×( 32/3) × cos60°

∴BC² = 49

∴BC = 7

第三题第一问解：

∵S = b² - (c - a)² 而 b² = a² + c² - 2ac cosB

∴S = (a² + c² - 2ac cosB) - (c - a)²

∴S = 2ac - 2ac cosB = 2ac(1 - cosB)

而 S = (1/2) ac sinB

∴2ac(1 - cosB) = (1/2) ac sinB

∴sinB = 4(1 - cosB)

∴sin²B = 16(1 - cosB)²

∴1 - cos²B = 16(1 - cosB)²

∴1 - cos²B = 16 - 32cosB + 16cos²B

∴17cos²B - 32cosB + 15 = 0

∴(cosB - 1)(17cosB - 15) = 0

∴cosB = 1 或 cosB = 15/17

由cosB = 1 知 B = 0(舍去)

∴cosB = 15/17

∴sinB = √(1- cos²B) = √[1-(15/17)²] = 8/17

第三题第二问(姑且按照“求△ABC面积的最大值”)解：

∵ a / sinA = c / sinC = 2R = 12

∴ sinA = a / 12 ， sinC = c / 12

∵ sinA + sinC = 4/3

∴a / 12 + c / 12 = 4/3

∴ a + c = 16

我们知道：
a² + c² ≥ 2ac
∴两边同加2ac，得：
a² + c² + 2ac ≥ 4ac

∴ 4ac ≤ (a + c)²

∴ ac ≤ (a + c)² /4 （当且仅当 a = c 时取到等号）

∴ ac 的最大值为 (a + c)² / 4 = 16² / 4 = 64

∴△ABC面积的最大值为：

Smax = (1/2) ×（ac）× sinB
= (1/2) × 64 × ( 8/17)
= 256/17