Question

在三角形ABC中,若B=π/3,且a+c=√3b,求角A的大小

在三角形ABC中,若B=π/3,且a+c=√3b,求角A的大小，详解

Answer 1

利用余弦定理得
b²=a²+c²-2accosπ/3
=a²+c²-ac
又因为
a+c=√3b,
a²+c²+2ac=3b²
2a²-5ac+2c²=0
（2a-c）（a-2c）=0
c=2a或a=2c
1.c=2a
3a=√3b
a/sinA=b/sinB
sinA=asinB/b=√3×(√3/2)/3=1/2
A=30°
2. 2c=a
3a/2=√3b
a/sinA=b/sinB
sinA=asinB/b=2√3×(√3/2)/3=1
A=90°
所以
A=30°或90°

Answer 2

a+c=√3b
根据正弦定理：
sinA+sinC=√3sinπ/3
sinA+sinC=3/2
2sin[(A+C)/2]cos[(A-B)/2]=3/2
sinπ/3cos[(A-B)/2]=3/4
cos[(A-B)/2]=√3/2
-π/2<(A-B)/2<π/2
(A-B)/2=π/6,或(A-B)/2=-π/6
A-B=π/3,或A-B=-π/3
A+B=2π/3
∴A=π/2，或A=π/6