Question

已知函数f(x)=x^4+(2-λ)x^2+(2-λ),是否存在a使得f(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)内为增函数？

Answer 1

已知函数f(x)=x^4+(2-λ)x^2+(2-λ)，是否存在λ使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1,0)内为增函数？

或者是：
已知函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，是否存在a使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数？

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假设你的命题如下：
已知函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，是否存在a使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数？
【说明：^表幂运算符号，^n表示n次幂，即：x^4表示x的4次幂，依此类推，以下雷同】

解：
假设函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，存在a使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数
∵ 已知函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)
∴ 根据求导公式，得到函数f(x)的导数为函数f"(x)
f"(x)= (x^4)"+[(2-a)x²]"+(2-a)"
= 4x^3+2(2-a)x
∵ 令f"(x)= 0，得到：
f"(x)= 4x^3+2(2-a)x=0
f"(x)= 2x [2x²+(2-a)]=0
解方程得到：
x1=-√[(a-2)/2]； x2=0 ； x3= √[(a-2)/2]；

【说明：√[]，表示[]中开2次方，√[()，表示()中开2次方，√2表示，2开方，依此类推，以下雷同】
∵ 存在a使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数
∴ 当f"(x)= 0时，存在3个根；则：a-2≥0，即：a≥2，其原因如下：
如果f "(x)= 0时，存在1个根（即：x=0），那么：
当x＜0时， f"(x)＜0，函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)在x∈(-∞，0)中为减函数；
当x＞0 时，f"(x)＞0，函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)在x∈(-∞，0)中为增函数；
这与函数f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数矛盾；

∵ 函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)的导数f"(x)= 4x^3+2(2-a)x，
化简得到：
f"(x)= 2x [2x²+(2-a)]
考虑f"(x)在定义域内的正负情况如下：
【分成 2x和 [2x²+(2-a)]的正负性讨论 f"(x)的正负性，上面已经求得f"(x)= 0时的根：x1=-√[(a-2)/2]； x2=0 ； x3= √[(a-2)/2]】
定义域 导数f"(x)两部分的正负情况 导数f"(x)正负性
f"(x)= 2x × [2x²+(2-a)]
x＜x1 f"(x)= - × + f"(x)＜0
x1＜x＜0 f"(x)= - × - f"(x)＞0
0＜x＜x2 f"(x)= + × - f"(x)＜0
x2＜x f"(x)= + × + f"(x)＞0
∴ 根据函数与其导数的的极值性质，判断函数的单调性如下：
（下表中：x1=-√[(a-2)/2]； x2=0 ； x3= √[(a-2)/2]）
（-∞，x1） x1 （x1，0） 0 （0，x2） x2 (x2，+∞)
f"(x) - f"(x1) + f"(0) - f"(x2) +
f(x) ↓ f(x1)极小值 ↑ f(0) 极大值 ↓ f(x2) 极小值 ↑
【说明：↓表示递减， ↑表示递增区间】

∵ 存在a使得函数f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数
∴ 函数f(x)在x∈(-∞，0)有一个极小值，则，根据上表的单调区间的情况，可得到：
-√[(a-2)/2]=-1，解方程得到：
(a-2)/2=1 （等号两边平方）
a-2=2 （取掉分式的分号）
a=4 ，与a≥2相符
综上所述：
函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，存在a=4，使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数 。
这个应给横好

Answer 2

题目应该有问题，函数式中没有字母a，应该是：是否存在λ使得f(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)内为增函数？

原命题应该为：
已知函数f(x)=x^4+(2-λ)x^2+(2-λ)，是否存在λ使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1,0)内为增函数？

或者是：
已知函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，是否存在a使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数？

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假设你的命题如下：
已知函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，是否存在a使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数？
【说明：^表幂运算符号，^n表示n次幂，即：x^4表示x的4次幂，依此类推，以下雷同】

【方法一】：导数解题的方法
解：
假设函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，存在a使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数
∵ 已知函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)
∴ 根据求导公式，得到函数f(x)的导数为函数f"(x)
f"(x)= (x^4)"+[(2-a)x²]"+(2-a)"
= 4x^3+2(2-a)x
∵ 令f"(x)= 0，得到：
f"(x)= 4x^3+2(2-a)x=0
f"(x)= 2x [2x²+(2-a)]=0
解方程得到：
x1=-√[(a-2)/2]； x2=0 ； x3= √[(a-2)/2]；

【说明：√[]，表示[]中开2次方，√[()，表示()中开2次方，√2表示，2开方，依此类推，以下雷同】
∵ 存在a使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数
∴ 当f"(x)= 0时，存在3个根；则：a-2≥0，即：a≥2，其原因如下：
如果f "(x)= 0时，存在1个根（即：x=0），那么：
当x＜0时， f"(x)＜0，函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)在x∈(-∞，0)中为减函数；
当x＞0 时，f"(x)＞0，函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)在x∈(-∞，0)中为增函数；
这与函数f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数矛盾；

∵ 函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)的导数f"(x)= 4x^3+2(2-a)x，
化简得到：
f"(x)= 2x [2x²+(2-a)]
考虑f"(x)在定义域内的正负情况如下：
【分成 2x和 [2x²+(2-a)]的正负性讨论 f"(x)的正负性，上面已经求得f"(x)= 0时的根：x1=-√[(a-2)/2]； x2=0 ； x3= √[(a-2)/2]】
定义域 导数f"(x)两部分的正负情况 导数f"(x)正负性
f"(x)= 2x × [2x²+(2-a)]
x＜x1 f"(x)= - × + f"(x)＜0
x1＜x＜0 f"(x)= - × - f"(x)＞0
0＜x＜x2 f"(x)= + × - f"(x)＜0
x2＜x f"(x)= + × + f"(x)＞0

∴ 根据函数与其导数的的极值性质，判断函数的单调性如下：
（下表中：x1=-√[(a-2)/2]； x2=0 ； x3= √[(a-2)/2]）
（-∞，x1） x1 （x1，0） 0 （0，x2） x2 (x2，+∞)
f"(x) - f"(x1) + f"(0) - f"(x2) +
f(x) ↓ f(x1)极小值 ↑ f(0) 极大值 ↓ f(x2) 极小值 ↑
【说明：↓表示递减， ↑表示递增区间】

∵ 存在a使得函数f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数
∴ 函数f(x)在x∈(-∞，0)有一个极小值，则，根据上表的单调区间的情况，可得到：
-√[(a-2)/2]=-1，解方程得到：
(a-2)/2=1 （等号两边平方）
a-2=2 （取掉分式的分号）
a=4 ，与a≥2相符
综上所述：
函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，存在a=4，使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数

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【方法二】：非导数的方法：
解：
假设函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，存在a使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数
∵ 已知函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，存在a使f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数
∴ 根据函数的单调性，可知道：
知函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，在x∈(-∞，0)上有最小值f(-1)；
f(-1)=1+(2-a)+(2-a)
=5-2a
∵ 已经推出：f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，在x∈(-∞，0)上有最小值f(-1)
∴ 在x∈(-∞，0)时，f(x)-f(-1)≥0恒成立；设g(x)=f(x)-f(-1)，则得到：
g(x)=f(x)-f(-1)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)-(5-2a)≥0
=x^4+(2-a)x^2+(a-3)≥0
也就是：当x∈(-∞，0)时，g(x)=x^4+(2-a)x^2+(a-3)≥0恒成立，其图像在x轴上或x轴上方；

∵ 设T=x^2，g(T)=g(x)=f(x)-f(-1)，则由x∈(-∞，0)，可得到：T＞0
g(T)=g(x)=f(x)-f(-1)=T^2+(2-a)T+(a-3)，在T≥0时，g(T)=g(x)≥0恒成立
也就是：
函数g(T)=T^2+(2-a)T+(a-3)，在T＞0时，g(T)=g(x)≥0恒成立，那么，在平面坐标
系中，g(T)图像在横轴上方或在横轴上，即：与横轴有一个交点（顶点），或在横轴上方；

∴ 函数g(T)=T^2+(2-a)T+(a-3)的对称轴＞0，并且根的判别式△≤0，即：
函数g(T)的对称轴=-(2-a)/2＞0 则：a＞2 等式①
函数g(T)的根的判别式△=(2-a)²-4(a-3)≤0 等式②
a²-4a+4-4(a-3)≤0
a²-8a+16≤0
(a-4)²≤0
a=4
(因为任意非零实数的平方都大于0，只有0的平方为零，所以，△≤0，a=4)
等式①、②的解集为：a=4

综上所述：
函数f(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)，存在a=4，使得f(x)在(-∞，-1)上是减函数，在(-1，0)内为增函数

Answer 3

a在哪？