Question

一道初二的几何题

如图，四边形ABCD中，AC⊥BD,AC与BD交于点O，试说明AB^2+CD^2=BD^2+AD^2.
图在这里http://hi.baidu.com/evehws/blog
可以追加到100

Answer 1

.利用面积不变：边长与高线成反比
ha:hb=b:a=2:1=10:5
hb:hc=c:b=5:6
ha:hb:hc=10:5:6

2.无法证明，看看是不是条件出错？（根据条件也无法得出平行四边形）

3.相等：可以证明三角形ABD'和三角形ACE'以A点为旋转中心旋转角DAE的度数而得（具体可以根据AB=AC，AD=AE，且它们转过得角度都是60度证明旋转）

4.BC'=[（sqrt2）/2]*BC
因为是折叠，所以角CDC'＝90度，即角BDC'＝90度，
也即三角形BDC'是直角三角形，BD^2+DC'^2=BC'^2
而CD=BD=DC'
所以BD^2+BD^2=BC'^2
2BD^2=BC'^2
即：sqrt2*BD=BC'
而BD=BC/2
所以[（sqrt2）/2]*BC=BC'

to楼下得：
想帮你纠正一个错误：任何一个平行四边形的确都满足已知，但是既然是证明，就必须是从已知条件得出它是一个平行四边形，但是这是做不到得，很简单，只要构造出一个四边形，满足一对对边相等，一对对角相等，但是不是平行四边形就可以推翻：
不介意得话跟着我试试画一下：
先画一个等腰三角形，找到它的底边上异于中点的点（任意的点即可），然后连结它和它所对的顶点，再将分割出来的斜三角形“翻上去”，就是把原来的钝角所在的顶点和锐角所在的顶点互换，你会发现，这样的一个四边形就是我所说的“满足一对对边相等，一对对角相等，但是不是平行四边形”的四边形

Answer 2

AB^2=AO^2+OB^2,CD^2=OD^2+OC^2,BD^2=(BO+OD)^2
AB^2+CD^2-BD^2+AD^2=AO^2+OC^2-2*OD*OB+AD^2=BD^2-BC^2
是不是少条件了。除非BD=BC，否则不成立