Question

已知函数fx=1/3x^3-(a+1)/2x^2+ax,（a为实数）1、若函数在R上单调递增，求a。

2、当1<=a<2时，求fx在【-2,2】上的最大值和最小值。

Answer 1

（1）函数f(x)=1/3x^3-(a+1)/2x^2+ax在R上单调递增
函数的导数 f‘(x)=x^2-(a+1)x+a在R上恒>=0
该导函数为一条开口向上的抛物线，在R上恒>=0也就是与x轴最多有一个交点
即判别式(a+1)^2-4a<=0,(a-1)^2<=0,得到a=1
（2）令函数的导数 f‘(x)=x^2-(a+1)x+a=0得到x。=1或a
当两点重合即a=1时，由第一问可知函数在R上单调递增，f(-2)=-26/3为最小值，f(2)=2/3为最大值
当两点不重合即1<a<2时，由导数性质知道1、a点均为函数f（x）的极值点且1为极大、a为极小，函数在[-2,1)上递增，(1，a)上递减，(a，2]上递增。比较f(-2)与f(a)找最小值，比较f(1)与f(2)找最大值。
f(-2)=-14/3-4a
f(a)=-1/6*a^3+a^2/2，f(a)-f(-2)在a属于（1，2）上为增函数且都>0所以f(a)-f(-2)>0， 所求函数最小值为f(-2)=-14/3-4a
f(1)=a/2-1/6
f(2)=2/3 当1<a<5/3时f(2)>f(1)最大值为f(2)=2/3； 当5/3<=a<2时f(1)>f(2)最大值为f(1)=a/2-1/6.

Answer 2

(1) 函数在R上单调递增则 f'(x)=x^2-(a+1)x+a≥0在R上恒成立
只需⊿=（a+1)^2-4a≤0 所以（a-1)^2≤0 所以a=1