Question

一个数学题，求高手帮忙详细解答

已知函数f(x)=x^2+lnx-ax(a属于R），
1，若函数f(x)在（0，1）上为增函数，求a的取值范围
2，在1的结论下，设g(x)=e^(2x)+|e^x-a|,x属于[0，ln3],求函数g(x)的最小值
第一问会做，请帮忙解答第二问

Answer 1

解：
首先求导 f′（x）=2x +1/x -a
因为在（0,1）为增函数 所以f′（x）＞0 在（0,1）范围内
即2x +1/x -a ＞0 恒成立
因为2x +1/x≥2√2 当2x=1/x时即x=√2/2时取得最小值
所以2√2-a＞0 解得 a＜2√2
（2）∵ x属于[0，ln3], 所以 e^x 属于 （1，3）
令y=e^x 则g（x）=e^x-a|,
令y=e^2 y定义域为[1,3]
于是 g=y^2+|y-a|,
当a≤1时 g=y^2+y-a
y=1取得最小值g=2-a
当a＞1时
在y＞a区间内
g=y^2+y-a, g=y^2+y-a
为增函数最小值为y=a时取的 此时g=a²
y＜a时
g=y^2-y+a
此时g同样为增函数 为y=1时取的最小值 此时g=a
因为a＞1 所以此时g最小值为a
a≤1时最小值为2-a

追问

非常感谢您的回答，但是一些地方有疑惑就是当
y＜a时
g=y^2-y+a
此时g同样为增函数 为y=1时取的最小值 此时g=a
因为a＞1 所以此时g最小值为a
a≤1时最小值为2-a
您怎么知道是是增函数此时对称轴是y=1/2,y<a 时怎么会在y=1取得最小值

追答

g=y^2-y+a对称轴为1/2
而y的取值范围是（1 3)
因此 在这段区间内g是增函数
所以最小值是g（1）

Answer 2

根据a的取值范围，算出在[0，ln3]范围内,|e^x-a|的正负情况，这样可以把绝对值符号去掉，然后对g(x)=e^(2x)+|e^x-a|求导，看看求导后g’(x)在[0，ln3]范围内的增减性，然后就可以求出函数g(x)的最小值了，不要着急，慢慢算，应该就会得到答案