Question

用定义证明当x趋于1时（x+1）／（2x+1）的极限是2／3. 求助~

Answer 1

首先令f(x)=(x+1)/(2x+1)=[(x-1)+2]/[2(x-1)+3]
对任意e>0,
取d=min{1,3e},
|x-1|<d时
有
|f(x)-2/3|
=|[(x-1)+2]/[2(x-1)+3]-2/3|
=|[3(x-1)+6-4(x-1)-6]/3[2(x-1)+3]|
=|x-1|/3[2(x-1)+3]
|x-1|<1, -2<2(x-1)<2, 3+2(x-1)>1
所以
|x-1|/3[2(x-1)+3]<|x-1|/3<3e/3=e
所以由极限定义，极限为2/3

Answer 2

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求证：lim(x->1) (x+1)/(2x-1)=2

证明：
① 对任意 ε>0 ，
要使： |(x+1)/(2x-1)-2| < ε 成立，
令： |x-1|<1/3 ，则：2/3<x , 1/3 < 2x-1 ；
此时只要：|(-3x+3)/(2x-1)|= 3|(x-1)/(2x-1)|< 3|x-1|/(1/3)< 9|x-1|<ε，
即只要：|x-1| < min{ 1/3,ε/9 } 即可 ；

② 故存在 δ = min{ 1/3,ε/9 } > 0 ,

③ 当 |x-1|<δ 时，

④ 恒有： |(x+1)/(2x-1)-2| < ε 成立。

∴ lim(x->1) (x+1)/(2x-1) = 2