Question

三次函数当X等于1时，有极大值4,当X等于3时，有极小值0,且函数过原点，求这个函数解析式。

Answer 1

y=ax^3+bx^2+cx+d
因为过原点，所以常数项为d=0

y'=3ax^2+2bx+c
由于该函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，
所以3ax^2+2bx+c=0有两个实根1和3
a=1/3,b=-2,c=3

所以y=x^3/3-2x^2+3x

Answer 2

令f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x) = 3ax^2+2bx+c
X等于1时，有极大值4：
f‘(1)=0，即，3a+2b+c=0 ......(1)
f(1)=4，即，a+b+c+d=4 ......(2)
X等于3时，有极小值0：
f‘(3)=0，即，27a+6b+c=0 ......(3)
f(3)=0，即，27a+9b+3c+d=0 ......(4)
（3）-（1）得：24a+4b=0，b=-6a .....(5)
将（5）代入（1）得：3a+2*(-6a)+c=0，c=9a ......(6)
将（5）、（6）代入（2）得：a-6a+9a+d=4，d=4-4a......(7)
将(5)、(6)、(7)代入（4）得：
27a+9*(-6a)+3*9a+4-4a=0，解得a=1
将a=1分别代入（5）、（6）、（7）得：
b=-6，c=9，d=0
∴f(x)=x^3-6x^2+9x

Answer 3

因为过原点，所以解析式常数项为0
设f(x)=aX^3+bX^2+cX
求导，f'(x)=3aX^2+2bX+c
再求导，f''=6aX+2b
所以由题可知
f(1)=a+b+c=4 f(3)=27a+9b+3c=0
f'(1)=3a+2b+c=0 f'(3)=27a+6b+c=0
f''(1)<0 f"(3)>0
剩下的自己解吧，如果有算错的地方你仔细算算