Question

大大们； 用带佩亚诺余项泰勒公式求极限时，展开求极限，要展开到多少项呢？就是n=多少？谢谢了

Answer 1

展开到多少项是因问题而异的，比如求x趋于0时 (e^x-1)/x的极限，只需把e^x展开到第一项(x项)即可，为什么呢？因为e^x = 1 + x + o(x)，后面的o(x)是比x还小的项，所以 (e^x-1)/x = 1 + o(x)/x，后一项趋于0，故极限为1。
如果现在求的是(cosx-1)/x^2，则需要展开到x^2项，cosx = 1 - x^2/2 + o(x^2)，道理和上面一样。总之原则就是一个，最后余项的那部分运算下来不能影响“大局”，是可以忽略的部分，这样就可以了。