Question

求不定积分，需要过程谢谢

Answer 1

dx = d(根号x)^2 = 2d根号x；随后令t = 根号x，被积函数转换成：
dt / t(x+1) = [ 1/t + 1/(t+1) ] dx
积分后为： ln t + ln (t+1)，回代后，ln根号x + ln(根号x + 1)

追问

错了吧 1+x是都在根号下的。。。 要真这么简单我也不会问了

追答

呃，对不起，是我看错了。用这个代换，x = (tan t)^2，根号x = tan t；根号(1+x) = sec t；dx 有些记不清了，你可以翻一下书。

追问

试过，没用。。。

Answer 2

方法一：
∫ dx/[√x * √(1 + x)]
(x = u²，dx = 2u du)
= ∫ 2u/[u * √(1 + u²)] du
= 2∫ du/√(1 + u²)
(u = tanθ，du = sec²θ dθ)
= 2∫ sec²θ/√(1 + tan²θ) dθ
= 2∫ sec²θ/√(sec²θ) dθ
= 2∫ secθ dθ
= 2ln|secθ + tanθ| + C
= 2ln|u + √(1 + u²)| + C
= 2ln|√x + √(1 + x)| + C
或
= 2arcsinh(√x) + C
__________________________________________________________________
方法二：
∫ dx/[√x * √(1 + x)]
= ∫ dx/√(x² + x)
= ∫ dx/√(x² + x + 1/4 - 1/4)
= ∫ dx/√[(x + 1/2)² - 1/4]
(令x + 1/2 = (1/2)secθ，dx = (1/2)secθtanθ dθ)，只考虑x > 0，0 ≤ θ < π/2的情况
= ∫ (1/2)secθtanθ/√[(1/4)sec²θ - 1/4] dθ
= ∫ (1/2)secθtanθ/√[(1/4)(sec²θ - 1)] dθ
= ∫ (1/2)secθtanθ/[(1/2)√(tan²θ)] dθ
= ∫ (1/2)secθtanθ/[(1/2)tanθ] dθ
= ∫ secθ dθ
= ln|secθ + tanθ| + C
= ln|secθ + √(sec²θ - 1)| + C
= ln|(2x + 1) + √[(2x + 1)² - 1]| + C
= ln|2x + 1 + √(4x² + 4x)| + C
= ln|2x + 1 + 2√(x² + x)| + C
不会怪我太冗长吧~~

追问

为什么上下答案不一样。。。

追答

可以互相转化的，只是表示形式不同