sin²1°+sin²2°+sin²3°+。.......+sin²89
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sin²89°=cos²1°，
sin²88°=cos²2°，
。。。
sin²46°=cos²44°，
所以，sin²1°+sin²2°+sin²3°+。.......+sin²89
=(sin²1°+cos²1°)+(sin²2°+cos²2°)+....(sin²44°+cos²44°)+sin²45°
=44+1/2=44.5
sin²88°=cos²2°，
。。。
sin²46°=cos²44°，
所以，sin²1°+sin²2°+sin²3°+。.......+sin²89
=(sin²1°+cos²1°)+(sin²2°+cos²2°)+....(sin²44°+cos²44°)+sin²45°
=44+1/2=44.5
追问
为什么sin²89°=cos²1°，
追答
sin(90°-x)=sin90°cosx-cos90°sinx=cosx
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根据 sina=cos(90-a) ，及 (sina)^2+(cosa)^2=1 。
设 原式=x ，
则 x=(cos89)^2+(cos88)^2+....+(cos1)^2，
两式相加，则 2x=1+1+....+1=89 ，
所以 x=89/2 。
设 原式=x ，
则 x=(cos89)^2+(cos88)^2+....+(cos1)^2，
两式相加，则 2x=1+1+....+1=89 ，
所以 x=89/2 。
追问
为什么sina=cos(90-a)
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诱导公式cos（90-a）=sina
所以sin89=cos1
所以上式=（sin²1°+cos²1°）+（sin²2°+cos²2°）+.......+（sin²44°+cos²44°）+sin²45°
=1+1+1+……+1+1/2=44.5
所以sin89=cos1
所以上式=（sin²1°+cos²1°）+（sin²2°+cos²2°）+.......+（sin²44°+cos²44°）+sin²45°
=1+1+1+……+1+1/2=44.5
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