Question

在四边形ABCD中,若AB平方+CD平方=BC平方+DA平方,求证:AC垂直于BD

Answer 1

证明：
作BM⊥AC，BN⊥AC，垂足为M,N
根据勾股定理
AB²=AM²+BM²，CD²=CN²+DN²
BC²=BM²+CM²，AD²=AN²+DN²
∵AB²+CD²=BC²+AD²
∴AM²+BM²+CN²+DN²=BM²+CM²+AN²+DN²
化简为AM²+CN²=CM²+AN²
AM²-CM²=AN²-CN²
（AM+CM）×（AM-CM）=（AN+CN）×（AN-CN）
∵AM+CM=AN+CN=AC
∴AM-CM=AN-CN即AC-2CM=AC-2CN
∴CM=CN
即M,N为一点，A，M（N），C三点一线
∴AC⊥BD

Answer 2

AC交BD于O, 可以用余弦定理求证，OA=OC, OB=OD,
所以，AB=BC=CD=DA,
菱形对角线垂直，AC垂直于BD

Answer 3

a