Question

若函数f(x)=x3次方—3bx+3b在(0，1)有极小值，求b的取值范围。

过程，谢谢。

Answer 1

解：多项式函数取极小值的必要条件是：一阶导数=0，以及二阶导数(一阶导数的导数)大于零。
求导：f'(x) = 3x^2 - 3b = 3(x^2 - b)，f''(x) = 6x。
令f'(x) = 0，得到x^2 = b。这里要讨论了。
1）如果b<0，那么x无解，是没有极值点的（当然也就没有极小值），所以b必须>=0；
2）如果b=0，那么x = 0，但是此时二阶导数f''(0) = 0，该点并不是极值点（其实是拐点），所以b=0也不可以；
3）如果b>0，此时有两个可能的极值点：x1 = sqrt(b)，x2 = -sqrt(b)，将它们代入f''(x)，发现
f''(x1) > 0，符合极小值点的条件，所以x1是极小值点。只要b大于零，就有x1这个解，所以最后，b所有允许的取值范围就是b>0.

Answer 2

f'(x)=3x^2-3b
∵函数f(x)=x3次方—3bx+3b在(0，1)有极小值
∴f'(x)=3x^2-3b在（0，1)有零点，
b>0,
3x^2-3b=0 ==> x=-√b, x=√b
则需0<√b<1==> 0<b<1
此时x∈(0,√b)f'(x)<0,x∈(√b,1)f'(x)>0符合题意
所以满足条件的b的取值范围是（0，1）