Question

在三角形ABC中，若a=5,b=4,且cos(A-B)=31/32 求cosC

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Answer 1

在三角形ABC中,AC=4,BC=5,cos(A-B)=31/32,

作CD//AB,交三角形ABC的外接圆于D,连接BD 容易看出，<CBD=<DBA-<CBA=<A-<CBA

所以，cos<CBD=31/32 由于，BC=5,BD=AC=4

所以，根据余弦定理可以求得：CD=3/2 sin<DBC=31/32 根据正弦定理可以求得：CD/sin<DBC=BD/sin<DCB=AC/sin<CBA=BC/sin<A 这样就可以将sin<A,sin<CBA求出来了

cos(A+B)=cos(A-B)-2sinA*sinB

这样可以求得cosC

Answer 2

∵a＞b,∴A＞B。
作∠BAD＝B交边BC于点D。
设BD＝x，则AD＝x，DC＝5-x。
在ΔADC中，注意cos∠DAC＝cos(A-B)=31/32，由余弦定理得：
(5-x)^2=x^2+4^2-2x*4*31/32,
即：25-10x＝16-(31/4)x,
解得：x＝4.
∴在ΔADC中，AD=AC=4,CD=1,
∴cosC=(1/2)CD/AC=1/8