Question

如图所示 圆内接三角形ABC中，AB=AC，D是BC上一点，E为直线AD和三角形ABC的外接圆的交点

（1）证明：AB²=AD*AE；
（2）当D为BC延长线上一点时，（1）的结论是否成立，若成立，请证明。

Answer 1

（1）连接BE。
∵∠AEB=∠C=∠B （同弧对同角） 且 ∠BAE=∠BAD
∴∠ABE=∠ADB
∵△ABD与△AEB相似 （角，角，角）
∴AB²=AD*AE （相似三角形对应边成比例）
（2）连接CE。
∵∠ADB=∠C-∠CAD
∠ACE=∠B-∠CAD （弧AE=弧AEC- 弧EC ）
且∠C=∠B
∴∠ADB=∠ACE
∵△ACD与△AEC相似 （角，角，角）
∴AC²=AD*AE （相似三角形对应边成比例）
∵AB=AC
∴AB²=AD*AE
答：与（1）的结论相同。

Answer 2

（1） 连接BE，由AB=AC可以判断出AE是直径（有一个垂径定理）同时得出角ABE为直角
由射影定理或者三角形ABD与三角形ABE相似即可等到AB²=AD*AE
（2）