Question

广义积分

如果f(x)在1到正无穷上的积分收敛，且当x趋近于正无穷时，f(x)的极限为A，证明A=0

Answer 1

不妨取积分列为f(x)在1到{2,3,4,...n,...}上的积分，记为Fn.
根据题意，也有对任意的c>0，存在N，使得n>N时有|f(n)-A|<c。
假设A不等于0，则A-c<f(n)<A+c，只要取c足够小，可以保证A-c与A+c同为正或同为负，即对所有n>N，有A-c<f(n)<A+c。
此时，对任意n>N，Fn = FN + f(x)在N到n上的积分。FN是有限的，现在把第二项记为G，则
若A-c>0，
G > A-c 在N到n上的积分，由于A-c是常数，则此积分随n的增大发散到正无穷，所以Fn不可能收敛。
若A+c<0
G < A+c在N到n上的积分，由于A-c是常数，则此积分随n的增大发散到负无穷，所以Fn也不可能收敛。
故矛盾。所以A=0