Question

设对任意实数x>0,y>0。若不等式x+√xy≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为

Answer 1

a>=(x+根号（xy))/(x+2y)=(1+根号(y/x))/(1+2y/x)=(1+t)/(1+2t^2)，由题意就是求函数f(t)=(1+t)/(1+2t^2)在t位于(0 +无穷)上的最大值，其中t=根号(y/x)。
令(1+t)/(1+2t^2)=u，则2ut^2--t+u--1=0，这个关于t的二次方程要想有解，必须判别式大于等于0，
因此1--8u(u--1)>=0，解得u<=【2+根号(6)】/4，因此a的最小值为【2+根号(6)】/4。

Answer 2

√(xy)≤(a-1)x+2ay
xy≤(a-1)^2x^2+4a^2y^2+4a(a-1)xy
(a-1)^2x^2+4a^2y^2+[4a(a-1)-1]xy≥0
4a^2(y/x)^2+(4a^2-4a-1)(y/x)+
(a-1)^2
≥0
若上式恒成立需满足:
(-4a^2+4a+1)/(8a^2)≤0
解得a≥(1+√2)/2
故a的最小值为(1+√旦耿测际爻宦诧为超力2)/2。