Question

点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上 求证三角形ABF和三角形DFE相似

第二问 若sinDFE=3分之1 求tanEBC的值

Answer 1

1 ∠ABF=90º-∠AFB
∠DFE=180º-∠BFE-∠AFB=90º-∠AFB=∠ABF
∠A=∠D=90º
所以 三角形ABF和三角形DFE相似
2 sinDFE=3分之1 即DE/EF=1/3 EF=3DE
AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE
DF=√(EF^2-DE^2)=DE*√8=DE*2√2
三角形ABF和三角形DFE相似
EF/DF=FB/AB
FB=EF*AB/DF=3DE*4DE/2√2DE=3√2DE
FB=BC EF=EC
tanEBC=EC/BC=3DE/3√2DE=1/√2=√2/2

Answer 2

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°.
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE＝∠C＝90°.
∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°.
又∵∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，
∴△ABF∽△DFE.
(2)解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝DEEF＝13，
∴设DE＝a，EF＝3a，则DF＝EF2－DE2＝2 2a.
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE＝EF＝3a，CD＝DE＋CE＝4a，AB＝4a, ∠EBC＝∠EBF.
又由(1)得，△ABF∽△DFE，
∴FEBF＝DFAB＝2 2a4a＝22，
∴tan∠EBF＝FEBF＝22，
∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝22.