Question

数学题高手求解！！！！

抛物线y^2=16x的焦点F1,又抛物线内一点F2(4,4),则以F1F2 为焦点且与抛物线y^2=16x有公共点的椭圆长轴长的最小值

Answer 1

如图：P是以F1F2为焦点的椭圆与抛物线的交点，P在抛物线准线上的射影为M，则椭圆的长轴2a=|PF1|+|PF2|=|PF2|+|PM|，显然P位于点E时，即PF2垂直于准线时2a最小，其值为8，此时点P的坐标为（1，4）

Answer 2

解
由题设可知,该椭圆的两个焦点
F1(4,0), F2(4,4)
∵该椭圆与抛物线y²=16x有公共点P,
可设这个公共点的坐标为P(p², 4p), (p∈R)
由椭圆定义可知:
该椭圆的长轴2a为
2a=|PF1|+|PF2|
=√[(p²-4)²+(4p)²]+√[(p²-4)²+(4p-4)²]
=√(p²+4)²+√[(p^4)+8p²-32p+32]
=p²+4+√[(p^4)+8p²-32p+32]
∴2a-p²-4=√[(p^4)+8p²-32p+32]
该式两边平方,整理可得:
ap²-8p+4+4a-a²=0
∵该椭圆与抛物线有交点,
∴实数p一定存在,
即上面关于p的方程必有实数解.
∴判别式⊿=64-4a(4+4a-a²)≥0
整理这个不等式,可得
a³-4a²-4a+16≥0
分解因式,就是
(a+2)(a-2)(a-4)≥0
∵该椭圆的半焦距c=2,
∴该椭圆的长半轴a＞c=2
∴结合上面的不等式可知
a≥4
∴(a)min=4
即该椭圆长轴长的最小值=8

Answer 3

由于上面将两边平方有可能将a范围扩大，建议化为a=f(p),求导，不过需要耐性