Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3.D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F.设CD=x

（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？

Answer 1

（1）当x=（6根号13）/6时，四边形EACF是菱形。
理由如下：
因为 角ACB=90度，DE垂直于BC于D，
所以 AC//EF，
因为 CF//AB，
所以 四边形EACF是平行四边形，
所以 角A=角F，
所以 三角形CFD相似 所以 CD/BC=CF/AB，
因为 AC=2，BC=3，
所以 AB=根号13，
当 CD=x=（6根号13）/13时，[（6根号13）/13]/3=CF/（根号13）
3CF=6， CF=2
因为AB=2。所以 AB=CF，
所以 四边形EACF是菱形。
（2）当x= 3--根号3时，四边形EACD的面积等于2。
理由如下：因为 三角形CFD相似于三角形BAC，
所以 CD/BC=DF/AC
即： x/3=DF/2, DF=2x/3,
当x=3--根号3时，FD=2（3--根号3）/3，
四边形EACD的面积=平行四边形ABCD的面积--三角形CFD的面积
=AC*CD--（CD*DF）/2
=2X--X^2/3
=2(3--根号3)--(3--根号3)^2/3
=(6--2根号3）--（9--6根号3+3）/3
=（6--2根号3）--（4--2根号3）
=2。