Question

已知函数y=x^3+2ax^2+x/a（a>0），则y(2)的最小值?急！快

不会别瞎答！

Answer 1

y=x^3+2ax^2+x/a
f(a)=y(2)=2³+2a*2²+2/a=8+8a+2/a
设0<a1<a2<1/2
则f(a1)-f(a2)=8+8a1+2/a1-(8+8a2+2/a2)=8a1+2/a1-8a2-2/a2=8(a1-a2)+2(1/a1-1/a2)=8(a1-a2)+2(a2-a1)/a1*a2=2(a1-a2)(4a1a2-1)/a1*a2
因为0<a1<a2<1/2
所以2(a1-a2)(4a1a2-1)/a1*a2>0
所以f(a)在(0,1/2)上为减函数
同理
f(a)在(1/2,正无穷大)上为增函数
f(a)在a=1/2上为最小值
即f(a)min=f(1/2)=8+8*(1/2)+2/(1/2)=8+4+4=16

Answer 2

y(2)=8+8a+2/a=8+4(2a+1/a)=8+4(2a+1/a)=8+4(2a^2+1)/a
2a^2+1的导数是4a
a的导数是1
当4a=-1时，最小
a=-1/4
y(2)=8+4*(-1/2-4)=8-2-16=-10 最小

Answer 3

完全没有这么复杂,因为a>0
y(2)=2^3+2a*4+2/a=8+8a+2/a>=8+2√（8a*2/a)=8+8=16,当且仅当a=1/2时取最小值
利用了简单的基本不等式a+b>=2√ab