Question

已知向量a=（sinx，-1）向量b=（根号3cosx，-1/2），函数f（x）=（向量a+向量b）*向量a-2

已知a，b，c分别为三角形ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2根号3，c=4，且f（A）=1，求A，b和三角形ABC的面积S。

Answer 1

向量a=(sinx，-1)，向量b=((√3)cosx，-1/2)，函数f(x)=（a+b)•a-2；
已知a，b，c分别为三角形ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2√3，c=4，且f(A)=1，
求A，b和三角形ABC的面积S。
解：a+b=(sinx+(√3)cosx，-1-1/2)=(sinx+(√3)cosx，-3/2)；
故f(x)=(a+b)•a-2=[sinx+(√3)cosx]sinx+3/2-2=sin²x+(√3)sinxcosx-1/2
=(1-cos2x)/2+(√3/2)sin2x-1/2=(√3/2)sin2x-(1/2)cos2x=sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)
=sin(2x-π/6)
由于f(A)=sin(2A-π/6)=1，故2A-π/6=π/2，2A= π/2+π/6=2π/3，∴A=π/3。
由余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA，代入已知值得12=b²+16-4b，即有b²-4b+4=(b-2)²=0，故b=2；
SΔABC=(1/2)bcsinA=(1/2)×2×4×sin(π/3)=2√3.

Answer 2

第一个问题：
∵向量a＝（sinx，－1）、向量b＝（√3cosx，－1/2），
∴向量a＋向量b＝（sinx＋√3cosx，－3/2），
∴（向量a＋向量b）·向量a＝（sinx）^2＋√3sinxcosx＋3/2，
∴f（x）＝（sinx）^2＋√3sinxcosx＋3/2－2＝（sinx）^2＋√3sinxcosx－1/2。

依题意，有：f（A）＝1，∴（sinA）^2＋√3sinAcosA－1/2＝1，
∴2（sinA）^2＋2√3sinAcosA－1＝2，∴√3sin2A－cos2A＝2，
∴（√3/2）sin2A－（1/2）cos2A＝1，∴sin2Acos30°－cos2Asin30°＝1，
∴sin（2A－30°）＝1。

∵0°＜A＜90°，∴0°＜2A＜180°，∴－30°＜2A－30°＜150°，∴由sin（2A－30°）＝1，得：
2A－30°＝90°，∴2A＝120°，∴A＝60°。

第二个问题：
由正弦定理，有：c/sinC＝a/sinA，
∴sinC＝（c/a）sinA＝［4/（2√3）］sin60°＝（2/√3）×（√3/2）＝1，∴C＝90°。
∴由勾股定理，有：a^2＋b^2＝c^2，∴（2√3）^2＋b^2＝4^2，∴b^2＝16－12＝4，∴b＝2。

第三个问题：
∵C＝90°，∴△ABC的面积＝（1/2）ab＝（1/2）×（2√3）×2＝2√3。