Question

线性代数行列式（证明题）

如图。图中省略部分参照第一行a的结构。例：b^2,(b+1)^2,(b+2)^2,(b+3)^2

Answer 1

2， 3， 4行减去第一行得到
a^2, (a+1)^2, (a+2)^2, (a+3)^2
(b-a)(b+a), (b-a)(b+a+2), (b-a)(b+a+4), (b-a)(b+a+6)
(c-a)(c+a), (c-a)(c+a+2), (c-a)(c+a+4), (c-a)(b+a+6)
(d-a)(d+a), (d-a)(d+a+2), (d-a)(d+a+4), (d-a)(b+a+6)
2，3，4行分别提取(b-a), (c-a) ,(d-a)得到

a^2, (a+1)^2, (a+2)^2, (a+3)^2
(b+a), (b+a+2),(b+a+4), (b+a+6)
(c+a), (c+a+2), (c+a+4),(b+a+6)
(d+a), (d+a+2), (d+a+4),(b+a+6)

第2，3，4列分别减去第一列得到
a^2, (2a+1), 4a+4, 6a+9
b+a, 2, 4,6
c+a, 2,4,6,
d+a, 2,4,6
第3，4行分别减去第二行得到

a^2, (2a+1), 4a+4, 6a+9
b+a, 2, 4,6
c-b, 0,0,0
d-b,0,0,0
显然，此时行列式的值乘以(b-a), (c-a) ,(d-a)就是原来的行列式的值，而此行列式最后两行成比例，因此行列式为0，所以原行列式也为0

Answer 2

第n列乘以x，加到第n-1列
第n-1列乘以x，加到第n-2列
。。。
第2列乘以x，加到第1列
然后按第1列展开，即可得到n-1阶下三角行列式（主对角线元素都是-1）
相乘即可得到结果