Question

求助！数学达人帮帮忙阿！要详细过程的！谢谢！

第一题：求证a²+b²+c²+d²≥ab+bc+cd+da
第二题：求证x²+2
----------≥2
√x²+1
第三题：已知a，b，c∈正整数集，a+b+c=1，求证
a²+b²+c²≥1/3

Answer 1

第一题：排序不等式，正序和大于乱序和
或者(a²+b²)/2≥ab,(b²+c²)≥bc;(d²+c²)≥dc,(a²+c²)≥ac,四式相加即可
第二题：两边平方即可
第三题：柯西不等式变式： a²/1+b²/1+c²/1≥(a+b+c)²/(1+1+1)

追问

大哥能帮我直接写过程解答吗？虽然有提示但还是有点不懂。

追答

第一题：(a²+b²)/2≥ab,(b²+c²)≥bc;(d²+c²)≥dc,(a²+c²)≥ac,四式相加即可
第二题：两边平方：原不等式等价于x^4+4x^2+4≥4(x^2+1)等价于x^4≥0，显然成立
第三题：（1²+1²+1²）（a²/1²+b²/1²+c²/1²)≥(a+b+c)²,所以 a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3=1/3

Answer 2

第一题：求证a²+b²+c²+d²≥ab+bc+cd+da
2(a²+b²+c²+d²)-2(ab+bc+cd+da)=a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+c²+d²-2cd+a²+d²-2ad
=(a+b)²+(b+c)²+(c+d)²+(a+d)²>=0 则a²+b²+c²+d²≥ab+bc+cd+da

第二题：求证x²+2
----------≥2
√x²+1
（x²+2）²-4（x²+1）=x^4>=0 命题得证