Question

设函数f(x)=ax^3+3x(x∈R),若f(mx^2)+f(1-mx)>0恒成立,求m的取值范围

Answer 1

很明显f(x)为奇函数
-f(x)=f(-x)
f(mx^2)+f(1-mx)>0恒成立
可转化为
f(mx^2)-f(mx-1)>0
f(mx^2)>f(mx-1)

然后讨论a
a=0时
f(x)=3x为单调增函数
解f(mx^2)>f(mx-1)
只要解出mx^2>mx-1即可
换成了解mx^2-mx+1>0
即判别式大于0就可以解出m的范围
得出m<0或m>4

同理a>0时
f(x)为单调增函数
解f(mx^2)>f(mx-1)
只要解出mx^2>mx-1即可
然后同a=0的情况

a<0时
f'(x)=3ax^2+3=3(ax^2+1)
可看出f(x)并非单调函数
求出单调区间后
分别对每个区间求f(mx^2)+f(1-mx)>0恒成立
解法同上
解出不同的m的范围取交集即可
有点麻烦，我就不写了