Question

设函数f(x)=

设函数f(x)=(1/3)x3-1/2(2a-1)x2+[a2-a-f'(a)]x+b(a,b∈R )
（1）求f' （a）的值；
（2）若对任意的a∈[0,1] , 函数f(x)在x∈[0,1] 上的最小值恒大于1，求b的取值范围。

Answer 1

1) f'(x)=x^2-(2a-1)x+[a^2-a-f'(a)]
x=a代入：f'(a)=a^2-(2a-1)a+a^2-a-f'(a)
2f'(a)=a^2-2a^2+a+a^2-a
2f'(a)=0
f'(a)=0
2) 因为f'(a)=0, 所以x=a为一个极值点，由韦达定理，另一个极值点为:a-1
f(a)为极小值，f(a-1)为极大值
a∈[0,1], 则在x∈[0,1]上，只有一个极小值点x=a
极小值g(a)=f(a)=a^3/3-1/2(2a-1)a^2+[a^2-a]a+b=a^3/3-a^2/2+b=a^2/6*(2a-3)+b>1
因为g'(a)=a^2-a=a(a-1)<=0,所以g(a)在[0,1]单调减，最小为g(1)=b-1/6>1
f(0)=b>1
f(1)=1/3-1/2(2a-1)+a^2-a+b=a^2-2a+b+5/6=(a-1)^2+b-1/6>1
因此综合有：b>7/6