Question

a(n+1)=[a(n)]^2+1,a1=1,求a(n).

Answer 1

a(n+1)=[a(n)]^2+1
an=[a(n-1)]^2+1
作差（（an+1）-an）/（an-a（n-1））=（an-1+an）=（a（n-1)）^2+a（n-1）+1
同理（（an）-a（n-1））/（a(n-1)-a（n-2））=（a（n-2）^2+a（n-2）+1
........(a3-a2)/(a2-a1)=a1^2+a1+1=3
相乘（a（n+1）-an）/（a2-a1）=（a（n-1)）^2+a（n-1）+1）*.....*（a1^2+a1+1）

已知a(n+1)=(an)^2+an，a1=1/2，求an的通项公式
∵A(n+1)=(An)^2+An……(1)
∴An=[A(n-1)]^2+A(n-1)……(2)
(1)-(2)得：A(n+1)-An=[An+A(n-1)][An-A(n-1)]+[An-A(n-1)]……(3)
设Bn=A(n+1)-An;B(n-1)=An-A(n-1)
由(3)得：Bn/B(n-1)=An+A(n-1)+1……(4)
(2)代入(4)得：Bn/B(n-1)=[A(n-1)]^2+2A(n-1)+1=[A(n-1)+1]^2……(5)
由(5)递推得：B(n-1)/B(n-2)=[A(n-2)+1]^2
....
B2/B1=(A1+1)^2……(6)
(5)——(6)迭乘，得：Bn/B1=[A1+1]^2×[A2+1]^2....[A(n-1)+1]^2……(7)
A2=A1^2+A1=(1/2)^2+1/2=3/4
B1=A2-A1=3/4-1/2=1/4代入(7)得：
Bn=[A1+1]^2×[A2+1]^2....[A(n-1)+1]^2/4
由(1)得：Bn=A(n+1)-An=An^2=[A1+1]^2×[A2+1]^2....[A(n-1)+1]^2/4
∵数列单调递增

∴数列各项为正
∴An=[A1+1][A2+1]...[A(n-1)+1]/2……(8)
又A1=1/2
A1+1=1/2+1=[2^1+1]/2=(2^2-1)/2……(9)
由(8)得：A2+1=(A1+1)/2+1=(2^1+1)/2^2+1=(2^2+2^1+1)/2^2=(2^3-1)/2^2
...
A(n-1)+1=[2^(n-1)+2^(n-2)..+2+1)]/2^(n-1)=(2^n-1)/2^(n-1)……(10)
(9)——(10)÷2，得：
An=1/2(A1+1)[A2+1]...[A(n-1]+1]=1/2(2^2-1)(2^3-1)....(2^n-1)/[2×2^2...2^(n-1)]
An=(2^1-1)(2^2-1)...(2^n-1)/{2×2^[n(n-1)/2]}
An=(2^1-1)(2^2-1)...(2^n-1)/2^[(n^2-n+2)/2]
注：A(n-1)+1=[2^(n-1)+2^(n-2)..+2+1)]/2^(n-1)=(2^n-1)/2^(n-1)……(10)
∴An=(2^1-1)(2^2-1)...(2^n-1)/2^[(n^2-n+2)/2]

Answer 2

等式两边同时除以2^(n+1)
所以a[n+1]/2^(n+1)=an/2^n+1
==>a[n+1]/2^(n+1)-an/2^n=1
所以[an/2^n}是一个首项为a1/2=1/2
,公差为1的等差数列
所以an/2^n=1/2+(n-1)
==>an=(2n-1)×2^(n-1)