Question

已知x满足不等式2[log（1/2）x]^2 +7log(1/2) x +3≤0

求函数f（x）=[log（2）x/4]*[log(2) x/2]的最大值和最小值。 拜托大家多用几种方法给我解一下，我一定要吃透它啊。 （换元法是必须要有的） 求多种方法，求大家了！

Answer 1

解：
设 a = log(1/2)(x)

则原不等式
2[ log(1/2)(x) ]² + 7log(1/2)(x) + 3 ≤ 0可化为：

2a² + 7a + 3 ≤ 0

∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0
∴ －3 ≤ a ≤ －1/2

∴－3 ≤ log(1/2)(x) ≤ －1/2

∴ 1/2 ≤ log(2)(x) ≤ 3

解以上不等式的所有方法中，“因式分解法”较为简便。

f(x) = [ log(2)(x/4) ] × [ log(2)(x/2) ]

= [ log(2)(x) － log(2)(4) ] × [ log(2)(x) － log(2)(2) ]

= [ log(2)(x) － 2 ] × [ log(2)(x) －1 ]

设 m = log(2)(x) ，
∵1/2 ≤ log(2)(x) ≤ 3 （已证）
∴ m ∈ [ 1/2，3 ]

于是问题转化为：
求函数y = f(x) = ( m － 2 ) × ( m －1 ) 的最大值和最小值。
这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题。

y = f(x) = ( m － 2 ) × ( m －1 )

y = f(x) = m² － 3m ＋ 2

y = f(x) = (m － 3/2)² － 1/4 其中m ∈ [ 1/2，3 ]

考察二次函数y = f(x) = (m － 3/2)² － 1/4
开口向上、对称轴为 m = 3/2、最小值为 -1/4、关键是定义域为m ∈ [ 1/2，3 ]。

画出二次函数y = f(x) = (m － 3/2)² － 1/4 的图像，
由图知：对称轴在定义域范围之内，
故当m = 3/2 时，函数y = f(x) 取到最小值 －1/4；
当m = 3 时，函数y = f(x) 取到最大值，把m = 3 代入二次函数表达式求得该最大值为2。

另解：
设 a = log(1/2)(x)

则原不等式
2[ log(1/2)(x) ]² + 7log(1/2)(x) + 3 ≤ 0可化为：

2a² + 7a + 3 ≤ 0

∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0
∴ －3 ≤ a ≤ －1/2

∴－3 ≤ log(1/2)(x) ≤ －1/2

∴ 1/2 ≤ log(2)(x) ≤ 3

∴2的(1/2)次方 ≤ x ≤ 2的3次方

∴ √2 ≤ x ≤ 8

∴x ∈ [√2，8]

f(x) = [ log(2)(x/4) ] × [ log(2)(x/2) ]

= [ log(2)(x) － log(2)(4) ] × [ log(2)(x) － log(2)(2) ]

= [ log(2)(x) － 2 ] × [ log(2)(x) －1 ]

= [ log(2)(x) ]² － 3log(2)(x) ＋ 2

= [ log(2)(x) － 3/2) ]² － 9/4 ＋ 2

= [ log(2)(x) － 3/2]² － 1/4

∵x∈[√2，8] 而 对称轴3/2在定义域[√2，8]之内

∴当x = 3/2时，f(x)有最小值 －1/4；

当x = 8时，f(x)有最大值，
最大值为：[ log(2)(8) － 3/2 ]² － 1/4 = [ 3 － (3/2) ]² － 1/4 = 2。

Answer 2

f=(log(2)x-2)*(log(2)x-1)令log(2)x=a则f=（a-2)(a-1)=a^2-3a+2=(a-3/2)^2-1/2 。所以当a=3/2时，F最小值是－1/2。无最大值。