Question

设函数f(x)=

设函数f(x)=(1/3)x³-1/2(2a-1)x²+[a²-a-f'(a)]x+b(a,b∈R )
（1）求f' （a）的值；
（2）若对任意的a∈[0,1] , 函数f(x)在x∈[0,1] 上的最小值恒大于1，求b的取值范围。

Answer 1

1) f'(x)=x^2-(2a-1)x+[a^2-a-f'(a)]
x=a代入：f'(a)=a^2-(2a-1)a+a^2-a-f'(a)
2f'(a)=a^2-2a^2+a+a^2-a
2f'(a)=0
f'(a)=0
2) 因为f'(a)=0, 所以x=a为一个极值点，由韦达定理，另一个极值点为:a-1
f(a)为极小值，f(a-1)为极大值
a∈[0,1], 则在x∈[0,1]上，只有一个极小值点x=a
极小值g(a)=f(a)=a^3/3-1/2(2a-1)a^2+[a^2-a]a+b=a^3/3-a^2/2+b=a^2/6*(2a-3)+b>1
因为g'(a)=a^2-a=a(a-1)<=0,所以g(a)在[0,1]单调减，最小为g(1)=b-1/6>1
f(0)=b>1
f(1)=1/3-1/2(2a-1)+a^2-a+b=a^2-2a+b+5/6=(a-1)^2+b-1/6>1
因此综合有：b>7/6

Answer 2

(1) f(x)=(1/3)x³-1/2(2a-1)x²+[a²-a-f'(a)]x+b
f'(x)=x²-(2a-1)x+a²-a-f'(a)
将x=a代入f'(x)，得
f'(a)=a²-(2a-1)a+a²-a-f'(a)=-f'(a)
∴ f'(a)=0

(2)由于f'(a)=0，所以f(x)=(1/3)x³-1/2(2a-1)x²+(a²-a)x+b，f'(x)=x²-(2a-1)x+a²-a=(x-a)(x-a+1)
f'(x)=0时，f(x)取极值，解得x=a或x=a-1
x>a或x<a-1时，f'(x)>0，f(x)单增，a-1<x<a时，f'(x)<0，f(x)单减
当a∈[0,1]，则a-1∈[-1,0]，由于f(x)在[a-1,a]上单调递减，那么f(x)在[0,a]上单调递减
所以，当x=a时，可取到函数在x∈[0,1]上的最小值为
f(a)=(1/3)a³-1/2(2a-1)a²+(a²-a)a+b=(1/3)a³-(1/2)a²+b

设g(x)=(1/3)x³-(1/2)x²+b，g'(x)=x²-x=x(x-1)
当x∈[0,1] 时，g'(x)≤0，即g(x)在[0,1]单调递减，所以g(x)在[0,1]上的最小值为g(1)=1/3-1/2+b=b - 1/6
f(a)在a∈[0,1]时的最小值为b - 1/6
那么根据题意有b- 1/6 >1
所以b>7/6

Answer 3

zzzzzzzz