Question

有一个基本不等式及其应用的题目(高一)

建矩形花坛,在花坛内装两个喷水器,喷水区域都是半径为5米的圆.

问:如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置,才能使花坛面积最大,且能全部喷到水

Answer 1

两个半径都为5的相交圆里面可以放下的矩形最大
设公共弦长为x
则矩形面积s=2x(100-x^2)^(1/2)
s^2=4x^2(100-x^2)=400x^2-4x^4
=10000-4(x^2-50)^2
显然s^2<=10000
矩形最大面积为100
其中花坛宽为5根号2，长为10根号2
两个喷水器相距5根号2，距花坛边为2.5根号2

Answer 2

其实题目的意思转化成 数学几何问题就是

两个相交圆 半径都为5 要公共弦长多少时
园里面可以放下的矩形最大

设公共弦长 为2x

则 面积是 s=2x*4*根号下（25-x*x)
s*s/64=25*x*x-x*x*x*x
求出最大值为 x*x=25/2时 面积最大

为100