Question

方程|x|^1/4+|x|^1/2-cosx=0多少实数根

Answer 1

f(x)=|x|^(1/4)+|x|^(1/2)是偶函数，在[0,+∞)单调上升，
g(x)=cosx是偶函数，在[0,1]单调下降，
在[0,1]，f(x)-g(x)单调上升，
且f(0)-g(0)=0-1<0,f(1)-g(1)=2-cos1>0,
所以，在[0,1]，f(x)-g(x)=0恰有一实根，
在(1,+∞)，f(x)>2>g(x),f(x)-g(x)=0没有实根，
又因为f(x)-g(x)是偶函数，所以，在负无穷到正无穷内,方程|x|^(1/4)+|x|^(1/2)-cosx=0恰有两个实根。

Answer 2

t=|x|^(1/2)>=0, |x|=t^2
因为cosx为偶函数，cosx=cos|x|=cost^2
f(t)=t^2+t-cost^2
f'(t)=2t+1+2tsint^2=1+2t(1+sint^2)
因为t>=0, 1+sint^2>=0,
所以f'(t)>=1, 因此函数单调增，f(t)至多只有一个零点
又f(0)=-1, f(1)=2-cos1>0
因此f(t)零点在(0,1)之间。
所以由对称性，原方程有两个互为相反数的零点，分别在（0，1）与（-1，0）区间。