Question

问一个数学问题

建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都要克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问
(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？

Answer 1

你这推荐答案明显错误的，以为每次打击，阻力是一定的么？？？
w1=f（平均）a=1/2kaa
设第二次打入深度为b
同理，前两次w1 w2=f(前两次平均)×(a b)=1/2k(a b)(a b)
又，w2=rw1
所以 w1 w2=（r 1）w1=1/2(r 1)kaa
所以算出(a b)=a√(1 r)设为L2
以此算得前三次深度L3为a√(1 r r²)
所以，次数不限，总深度为a√（1 r r² ……r的n次方），这是一个基本等比数列，极限值是a√（1/(1-r)）

Answer 2

这是一道高中的物理数学相结合的题目。
打桩做的功即克服阻力做功，设功为W，阻力为f,每次打入深度为s,则W=fs
因为f1=Ka,所以W1=fs=Kaa
又因为：W3=W1*r*r=Kaarr=f3*s3=ks3*s3
所以s3=ar
同理可得s2=a√r,s4=ar√r
第三次敲打后，打入地下深度为：s1+s2+s3=a+a√r+ar

于是可以发现，每次打入深度为s1=a,s2=a√r,s3=ar,s4=ar√r......sn=a(√r)^(n-1)
设n次敲打后深度为H，
则H=s1+s2+s3+.....+sn
=a+a√r+ar+....+a(√r)^(n-1)
=a(1-√r^n)/（1-√r）
因为r<0,所以√r^n趋近于0
所以H=a/（1-√r）即为最大深度

Answer 3

计第一次打击做的功为1，则根据题意可知：
1. 第一次打桩做的功为1，打进地下的深度为a；
第二次打桩做的功为r，打进地下的深度为r/(ka);
第三次打桩做的功为r^2，打进地下的深度为r^2/[k(r/ka+a)];
2. 若设第n-1次打击完后桩的深度为x(n-1)，则根据题意有：
x(n)=x(n-1)+r^(n-1)/kx(n-1)
后面不知道怎么计算了。。。

Answer 4

你几岁了？这是那个年级的题？