Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，令bn=1/Sn，且a3b3=1/2，S3+S5=21，求{bn}通项公式及{bn}的前n项

详细过程啊 别复制别的 我是才学这一种题型 详细 谢

Answer 1

解：由于数列an是等差数列，所以：
(等差数列求和我喜欢用：(首项 + 末项)乘以项数/2，你用公式法也可以)
S3 = 3(a1 + a3)/2 , S5 = 5(a1 + a5)/2，都代入 S3 + S5 = 21，解出a5为：
a5 = [ 42 - (8a1 + 3a3) ] /5； （1）
另外，根据bn = 1/Sn, 所以b3 = 1/S3，于是
a3b3 = a3/S3 = a3/ [3(a1 + a3) /2 ] = (2/3) a3/(a1+a3) = 1/2，于是解出a3为：
a3 = 3a1，（2）
将这一表达式代入（1），得到：
a5 = [ 42 - 17a1] / 5. （3）
再利用等差数列通项公式，设公差为d，则有a3 = a1 + 2d, a5 = a1 + 4d，都代入到（2）式和（3）式中，就可以解出：
a1 = d = 1.
于是Sn = (a1 + an)n / 2 = [1 + (1 + (n-1)*1) ]n/2 = (n+1)/2，从而
bn = 1/Sn = 2/(n+1)。

Answer 2

根据bn = 1/Sn, 所以b3 = 1/S3，于是
a3b3 = a3/S3 =( a1+2d)/ (3a1 + 3d) = 1/2，
于是解出：
a1 = d（1）
S3+S5=3a1+3d+5a1+10d=8a1+13d=21 (2)

将(1)代入（2），得到
a1=1
d=1
Sn=n+n(n-1)/2=n(n+1)/2
bn=1/Sn=2/(n(n+1))=2(1/n-1/(n+1))
S(bn)=2(1/1-1/(n+1))=2n/(n+1)