Question

如图，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为X轴AB所在的直线为Y轴建立平面直

Answer 1

如图1，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A，C重合），过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G，E．设四边形BCFE的面积为S1，四边形CDGF的面积为S2，△AFG的面积为S3．
（1）试判断S1，S2的关系，并加以证明；
（2）当S3：S2=1：3时，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，把△AEF沿对角线AC所在直线平移，得到△A′E′F′，且A′，F′两点始终在直线AC上，是否存在这样的点E′，使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4．若存在，请求出点E′的坐标；若不存在，请说明理由．
是不是这个题目？

Answer 2

（1）S1 = S2
证明：如图10，∵ FE⊥轴，FG⊥轴，∠BAD = 90°,
∴ 四边形AEFG是矩形 .
∴ AE = GF，EF = AG .
∴ S△AEF = S△AFG ,同理S△ABC = S△ACD .
∴ S△ABC-S△AEF = S△ACD-S△AFG . 即S1 = S2 .

（2）∵FG∥CD , ∴ △AFG ∽ △ACD .
∴ .
∴ FG = CD， AG =AD .
∵ CD = BA = 6， AD = BC = 8 , ∴ FG = 3，AG = 4 . ∴ F（4，3）。

（3）解法一：∵ △A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的 ,
∴ E′A′= E A = 3，E′F′= E F = 4 .① 如图11-1
∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5∶4 , 若点E′在第一象限 ,
∴设E′（4, 5）且 > 0 ,
延长E′A′交轴于M ，得A′M = 5-3, AM = 4.
∵ ∠E′=∠A′M A = 90°, ∠E′A′F′=∠ M A′A ,
∴ △ E′A′F′∽△ M A′A ，得 .
∴ . ∴ = ，E′( 6, ) .

② 如图11-2
∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5∶4 ,
若点E′在第二象限，∴设E′（-4, 5）且 > 0,
得NA = 4, A′N = 3 - 5，
同理得△A′F′E′∽ △A′AN .
∴ ， .
∴ a = ， ∴ E′(, ) .
③ 如图11-3
∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5∶4 ,
若点E′在第三象限，∴设E′（ -4,- 5 ）且 > 0.
延长E′F′交轴于点P，得AP = 5, P F′= 4 - 4 .
同理得△A′E′F′∽△A P F′ ，得，
.∴ = （不合舍去）.
∴ 在第三象限不存在点E′.
④ 点E′不可能在第四象限 .
∴ 存在满足条件的E′坐标分别是( 6, ) 、(, ) .
解法二：如图11-4，∵△A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的,且A′、F′两点始终在直线AC上,
∴ 点E′在过点E（0，3）且与直线AC平行的直线l上移动.
∵ 直线AC的解析式是,
∴ 直线l的解析式是 .
根据题意满足条件的点E′的坐标设为（4, 5）或（ -4,5）或（ -4,-5）,其中 > 0 .
∵点E′在直线l上 , ∴ 或 或
解得（不合舍去）. ∴ E′（6, ）或E′（, ）.
∴ 存在满足条件的E′坐标分别是( 6 , ) 、(, ) .
解法三：
∵ △A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的,且A′、F′两点始终在直线AC上 ,
∴ 点E′在过点E（0，3）且与直线AC平行的直线l上移动 .
∵ 直线AC的解析式是, ∴ 直线L的解析式是.
设点E′为（, ） ∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5︰4 ,∴ .
① 当、为同号时，得 解得 ∴ E′（6, 7.5）.
② 当、为异号时，得 解得 ∴ E′（, ）.
∴存在满足条件的E′坐标分别是( 6, ) 、( , ) .

Answer 3

能把提携全了吗