Question

如图,∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF。

（1）AE与FC会平行吗？说明理由。
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
(3)BC平分∠DBE吗？为什么。

Answer 1

（1）因为：∠1+∠2=180 且∠1+∠DBE=180
所以：∠2=∠DBE
所以：AE‖FC（同位角相等两直线平行）
（2）AD‖BC
因为：AE‖FC
所以：∠C+∠ABC=180
又因为：∠C=∠A
所以：∠A+∠ABC=180
所以：AD‖BC
（3）∠1+∠2=180° ∠2+∠CDB=180° ∠1=∠CDB
∠1=∠DBA (对角相等) ∠CDB=∠DBA
说明 四边形ABCD是平行四边形
∠ADB=∠DBC（平行四边形定理） ∠DAE=∠CBE(平行四边形定理)
∠FDA=∠BCF(平行四边形定理) ∠DAE=∠BCF(以知)
所以 ∠FDA=∠CBE
又因为DA平分∠BDF 而 ∠ADB=∠DBC ∠FDA=∠CBE
所以 BC平分∠DBE

Answer 2

（1）因为：∠1+∠2=180 且∠1+∠DBE=180
所以：∠2=∠DBE
所以：AE‖FC（同位角相等两直线平行）
（2）AD‖BC
因为：AE‖FC
所以：∠C+∠ABC=180
又因为：∠C=∠A
所以：∠A+∠ABC=180
所以：AD‖BC
（3）∠1+∠2=180° ∠2+∠CDB=180° ∠1=∠CDB
∠1=∠DBA (对角相等) ∠CDB=∠DBA
说明 四边形ABCD是平行四边形
∠ADB=∠DBC（平行四边形定理） ∠DAE=∠CBE(平行四边形定理)
∠FDA=∠BCF(平行四边形定理) ∠DAE=∠BCF(以知)
所以 ∠FDA=∠CBE
又因为DA平分∠BDF 而 ∠ADB=∠DBC ∠FDA=∠CBE
所以 BC平分∠DBE

Answer 3

解：（1）平行，
证明：∵∠2+∠CDB=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠CDB=∠1，
∴AE∥FC．
（2）平行，
证明：∵AE∥FC，
∴∠CDA+∠DAE=180°，
又∵∠DAE=∠BCF，
∴∠BCF+∠CDA=180°，
∴AD∥BC．

（3）平分，
证明：∵AE∥FC，
∴∠EBC=∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠BCF=∠FDA，∠DBC=∠BAD，
又∵DA平分∠BDF，即∠FDA=∠BDA，
∴∠EBC=∠DBC，
∴BC平分∠DBE．