Question

已知函数f(x)=ln(ax+1)+2/(x+1),其中a>0 ①讨论函数f(x)在(0,+∞)的单调性。②若

已知函数f(x)=ln(ax+1)+2/（x+1），其中a>0 ①讨论函数f(x)在（0，+∞）的单调性。②若函数f(x)在[0，+∞）上最小值为2，求正数a的取值范围
急求啊，

Answer 1

f(x)=ln(ax+1)+2/（x+1）
定义域要求:x>0,且x>-1/a
f'(x)=a/(ax+1)-2/(x+1)^2
=[a(x+1)^2-2(ax+1)]/[(ax+1)(x+1)^2]
=(ax^2+a-2)/[(ax+1)(x+1)^2]
=a[x^2-(2/a-1)]/[(ax+1)(x+1)^2]
a≥2时，2/a-1<0,f'(x)>0恒成立，
f(x）为(0,+∞）上增函数
0<a<2时， 2/a-1>0
f'(x)=a[x+√(2/a-1)]*[x-√(2/a-1)]/[(ax+1)(x+1)^2]
f'(x)<0 ==> x∈ (0, √(2/a-1) )
f'(x)>0 ==> x∈ (√(2/a-1) ,+∞ )
f(x)增区间(√(2/a-1) ,+∞ )，减区间(0, √(2/a-1) )

②
若函数f(x)在[0，+∞）上最小值为2，求正数a的取值范围
a≥2时，2/a-1<0,f'(x)>0恒成立，
f(x）为【0,+∞）上增函数
f(x)min=f(0)=ln1+2=2符合题意
0<a<2时，
f(x)增区间(√(2/a-1) ,+∞ )，减区间(0, √(2/a-1) )
∴f(x)min=f[√(2/a-1)]
∵f(0)=2 ∴ f(x)min=f[√(2/a-1)]<2不符合题意
∴符合条件的a的取值范围是[2,+∞)