Question

已知函数Fx=|2x+1|+|2x-3| 1.求不等式Fx小于等于6的解集2.若关于x的不等式Fx大于a恒成立，求实数a的取...

已知函数Fx=|2x+1|+|2x-3| 1.求不等式Fx小于等于6的解集2.若关于x的不等式Fx大于a恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

Fx=|2x+1|+|2x-3|<=6
当2x+1>=0且2x-3>=0即x>=3/2时
2x+1+2x-3<=6
4x-2<=6
x<=2
此时3/2<=x<=2

当2x+1>=0且2x-3<0即-1/2<=x<3/2时
2x+1-2x+3<=6
不等式恒成立

当2x+1<0且2x-3>=0即无解

当2x+1=<0且2x-3<0即x<=-1/2时
-2x-1-2x+3<=6
x>=-1
此时-1<=x<=-1/2

综上，-1<=x<2

2、若Fx>a恒成立
即 |2x+1|+|2x-3|>a
|2x+1|-(-|2x-3|)>a
画图，可以看到折线|2x+1|和-|2x-3|有部分平行
在平行的位置上|2x+1|-(-|2x-3|)最小
a必须小于这个最小值，才能保证不等式恒成立
这短最小值正好是两折线在y轴的截距的绝对值和
即当x=0时，Fx值最小
|2x+1|+|2x-3|=1+3=4
因此a<4

Answer 2

①令2x＋1=0解之得x=－½
令2x－3=0解之得x=3／2
数轴被½与3／2分成三部分
当x＜－½时F﹙x﹚=－﹙2x+1﹚＋[－﹙2x－3﹚]≤6,解之得x≥－1,所以－1≤x＜－½
当－½≤x≤3／2时F﹙x﹚=－﹙2x＋1﹚＋﹙2x－3﹚≤6.解之得x可以取一切实数，所以－½≤x≤3／2
当x＞3／2时F﹙x﹚=2x＋1＋2x－3≤6,解之得x≤2,所以3／2＜x≤2
综上所述－1≤x≤2
②因为数轴上－½与3／2距离为2，所以0≤a＜2