Question

高一数学 来帮帮忙吧 急急

设a,b属于实数且a^2+b^2=1,求ab及a+b的取值范围?
要详解 谢谢

Answer 1

解:高一学生还没有学到三角函数,本题可利用方程思想来解.
由a^2+b^2=1得(a-b)^2+2ab=1,所以2ab<=1,
所以ab<=1/2.
同理有(a-b)^2-2ab=1,所以-2ab<=1,所以ab>=-1/2
综上所述-1/2<=ab<=1/2.
令a+b=t,则a=t-b,将其代入方程a^2+b^2=1得
(t-b)^2+b^2=1,即2b^2-2tb+t^2-1=0关于b有解,
所以判别式=4t^2-4*2*(t^2-1)>=0,整理得
t^2<=2,所以解得-根号2<=t<=根号2.
故a+b的取值范围是[-根号2,根号2].

Answer 2

解：a,b属于实数且a^2+b^2=1，所以我们可以假设a=sinx,b=cosx,x取一切实数

ab=sinxcosx=(sin2x)/2,因为x取一切实数，所以2x取一切实数
所以 -1=<sin2x<=-1
所以 ab==(sin2x)/2取值范围为[-1/2，1/2]

a+b=sinx+cosx=√2 sin(x+45度)，因为x取一切实数，所以x+45度取一切实数
所以 -1=<sin(x+45度)<=-1
所以 a+b=√2 sin(x+45度)，取值范围为[-√2，√2]
注：√2代表根号2